数学归纳法可分为第一数学归纳法和第二数学归纳法
第一数学归纳法是:
(1)证明n=1时成立
(2)假设n=k时成立，证明n=k+1时成立
第二数学归纳法是:
(1)证明n=1，2，……，m时命题成立
(2)假设n<；=k(k>；=m)时成立，证明n=k+1时成立
可以这样分析：因为n=1，2，……，m时成立，即n<；=m时命题成立，可令k=m，则根据归纳假设（2)有n=k+1=m+1时成立，那么就有n<；=m+1时成立，此时k=m+1，再根据假设(2)有n=k+1=m+2时也成立，……，如此不断推导下去，就有命题对n∈N都成立。
所谓二重数学归纳法就是此时m=2的情形，比如证明一个数列通项公式an=f(n)（猜想得来的），利用递归式a(n+2)=pa(n+1)+qan，p、q为常数，此时用二重数学归纳法
先证n=1，2时a1=f(1)，a2=f(2)
再假设n<；=k(k>；=2时成立，证明n=k+1时成立，这时利用了n=k和n=k-1时命题也成立的假设来证明即a(k+1)=pak+qa(k-1)=pf(k)+qf(k-1)=f(k+1).
此外，数学归纳法还有许多变形，如反向数学归纳法等
PEANO公理（也叫自然数公理）的一条公设就是归纳法公设，其是数学归纳法的理论依据，即某自然数的子集P包含1，还包含所有数的后继数，则集合P就是自然数集N。
